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  1. Find the plane through the points [  − 2 ,   − 3 ,   − 2 ], [ 0 ,   − 4 ,   − 3 ], and [  − 4 ,   − 2 ,  0 ].

    −3 − x − y + z = 0 −3 − x − y + z = 0 −7 − x − 2y = 0 −8 − x − 2y = 0

  2. Let $\mathbf{r}(t) = \mathbf{u}(t)\times\mathbf{v}(t)$. Suppose that $\mathbf{u}( 1) = \left[ 1 , -3 , 3 \right] $, $\mathbf{v}( 1) = \left[ -3 , 3 , 0 \right] $, $\mathbf{u}'( 1) = \left[ -1 , 0 , -1 \right] $, and $\mathbf{v}'( 1) = \left[ -1 , 2 , 1 \right] $. Then find $\mathbf{r}'( 1)$.

    [  − 6 ,   − 2 ,   − 2 ] [  − 6 ,   − 1 ,   − 4 ] [  − 5 ,   − 2 ,   − 3 ] [  − 5 ,   − 1 ,   − 5 ]

  3. Find the plane through the point [  − 1 ,  3 ,   − 1 ] and containing the line [ x ,  y ,  z ]  = [ 1 − 2t ,   − 3 + t ,   − 2 + 5t ].

    −24 + 29x + 8y + 10z = 0 −27 + 29x + 9y + 11z = 0 13 + 29x + 9y + 11z = 0 15 + 29x + 8y + 10z = 0

  4. Let $\mathbf{r}(t) = \mathbf{u}(t)\cdot\mathbf{v}(t)$. Suppose that $\mathbf{u}( 1) = \left[ -1 , 0 , -3 \right] $, $\mathbf{v}( 1) = \left[ -1 , -1 , 1 \right] $, $\mathbf{u}'( 1) = \left[ -1 , -2 , 1 \right] $, and $\mathbf{v}'( 1) = \left[ 1 , 1 , 1 \right] $. Then find $\mathbf{r}'( 1)$.

    1 0 1 −2

  5. Find the tangent line to $\mathbf{r}(s) = \left[ s^4 , s^3 , s \right] $ at $s = -1$.

    [ x ,  y ,  z ]  = [ 1 − 4t ,   − 1 + 3t ,   − 1 + t ] [ x ,  y ,  z ]  = [ 2 − 4t ,   − 1 + 4t ,   − 1 + t ] [ x ,  y ,  z ]  = [ 1 − 4t ,   − 1 + 4t ,   − 1 + t ] [ x ,  y ,  z ]  = [ 2 − 4t ,   − 1 + 3t ,   − 1 + t ]

  6. Find the line through the point [  − 3 ,  3 ,   − 3 ] and perpendicular to the plane 4 + x − 3z = 0.

    [ x ,  y ,  z ]  = [  − 3 + t ,  3 + t ,   − 3 − 3t ] [ x ,  y ,  z ]  = [  − 2 + t ,  3 + t ,   − 3 − 3t ] [ x ,  y ,  z ]  = [  − 3 + t ,  3 ,   − 3 − 3t ] [ x ,  y ,  z ]  = [  − 2 + t ,  3 ,   − 3 − 3t ]

  7. Find the line through the points [  − 1 ,  1 ,  1 ] and [  − 2 ,   − 2 ,   − 2 ] .

    [ x ,  y ,  z ]  = [  − t ,  1 − 3t ,  1 − 3t ] [ x ,  y ,  z ]  = [  − 1 − t ,  1 − 3t ,  1 − 3t ] [ x ,  y ,  z ]  = [  − t ,  1 − 2t ,  1 − 2t ] [ x ,  y ,  z ]  = [  − 1 − t ,  1 − 2t ,  1 − 2t ]

  8. Find the line through the point [ 4 ,  0 ,  3 ] and parallel to the vector [  − 3 ,  1 ,   − 3 ].

    [ x ,  y ,  z ]  = [ 4 − 3t ,  t ,  3 − 3t ] [ x ,  y ,  z ]  = [ 5 − 3t ,  t ,  4 − 3t ] [ x ,  y ,  z ]  = [ 4 − 3t ,  2t ,  3 − 3t ] [ x ,  y ,  z ]  = [ 5 − 3t ,  2t ,  4 − 3t ]

  9. Find the plane through the point [ 0 ,  5 ,  2 ] and perpendicular to the vector [ 5 ,  5 ,  5 ].

    −45 + 5x + 6y + 5z = 0 −35 + 5x + 5y + 5z = 0 −40 + 5x + 6y + 5z = 0 −40 + 5x + 5y + 5z = 0

  10. Find the distance between the point [  − 4 ,   − 4 ,   − 3 ] and the planes −1 + 4y − 3z = 0.

    $\displaystyle \frac{10}{\sqrt{34}}$ $\displaystyle \frac{9}{\sqrt{34}}$ $\displaystyle \frac{7}{5}$ $\displaystyle \frac{8}{5}$


Department of Mathematics
Last modified: 2026-10-30